После окончания войны Алексей поступил в Казанское музыкальное училище и, успешно его окончив, поехал в Москву, чтобы продолжить своё обучение в Институте им. Гнесиных. Учился азартно и с упоением, его любили педагоги и однокурсники, которые безоговорочно признавали творческое дарование своего товарища. Жил, будучи студентом, на съёмной квартире, а одно время даже снимал маленькую комнатку у одной из сестер Гнесиных - Елены. В семейном архиве сохранилась фотография, подаренная ему Еленой, с доброжелательной памятной надписью.
Алексею Бурлацкому во время учёбы была предоставлена редкая возможность петь со сцены Большого зала Московской консерватории. Это было первым официальным признанием несомненного таланта и дарования начинающего артиста.
Сохранились воспоминания об одном из таких концертов в записях будущей жены Алексея Менделеевича Александрины: «Я сидела и ждала выступления Алёши и никого кроме него не видела и не слышала. И вот он на сцене. На нём тёмно-синий костюм, подаренный начальником эвакуационного госпиталя и личным другом Ильей Степановичем. Это было на 4 курсе, и это был его единственный костюм. Алексей стоял на сцене. Невысокий, но крепкий. И вот он запел. В зал полился пленительного тембра голос. Алёша пел «Строфы Нерона». Это произведение подходило ему по голосу и темпераменту. Его пение увлекало глубиной чувств, будто пел он в этот момент только о себе».
А незадолго до этого памятного концерта состоялось их случайное знакомство. Они встретились на свадьбе у дальней родственницы Алексея. Это было 17 сентября 1954 года в День рождения Алексея Менделеевича. Ему исполнилось тогда 35 лет. На свадьбу он пришёл с некоторым опозданием. Александрина на всю жизнь запомнила, как вдруг раздались радостные голоса: «Алёша! Алёша пришёл!». Она повернула голову и увидела в дверях красивого молодого мужчину, который своими синими глазами смотрел прямо на неё. Одного взгляда хватило для того, чтобы понять - это любовь. Прошло несколько секунд, Алексея, как почетного гостя, посадили рядом с женихом и невестой. Прошло немного времени, и гости стали просить Алексея спеть. Александрина не запомнила того, что он пел, но на всю жизнь запомнила, какую бурю в душе вызывал завораживающий голос Алексея. Потом начались танцы, и Александрина с Алексеем, казалось, больше уже никого не видели. Они танцевали с таким упоением, что все гости невольно остановились, образовали круг и залюбовались молодой танцующей парой. Казалось, что сразу всем стало понятно: только что загорелись любовью молодые сердца. Больше никогда они так не танцевали.
Со свадьбы ушли потихонечку, Алексей пошёл провожать Александрину, и проводы эти длились всю ночь. Они говорили о себе, о жизни, которая за эту ночь прошла у них перед глазами. Больше они уже никогда не расставались. И эта любовь, вспыхнувшая с первого взгляда, сопровождала их всю жизнь.